自由乘法卷积幂的尾部的相变

我们研究测度 $\mu^{\boxtimes t}$ 的尾部行为，其中 $\boxtimes t$ 是 $t\geq 1$ 时的 $t$ 重自由乘法卷积幂。我们关注 $\mu$ 为正半轴上的概率测度且具有正则变化尾部的情况，即形如 $x^{-\alpha} L(x)$，其中 $L$ 为缓变函数。我们获得了 $\mu^{\boxplus t}$ 尾部行为在 $\alpha<1$ 与 $\alpha>1$ regime 之间的相变。我们的主要工具是通过相应 $S$-变换在 $0^-$ 处的行为来描述 $\mu$ 的正则变化尾部。我们还用相应 L\'evy 测度的尾部描述了 $\boxtimes$ 无穷可分测度的尾部，处理具有正则变化尾部的对称测度，并证明了 Breiman 引理的自由类比。