加权 Fourier 扩展不等式的相空间方法

本文旨在揭示和研究 Fourier 变换限制理论中的两个长期存在问题的自然相空间表述。这两个问题常被称为 Stein 猜想和 Mizohata--Takeuchi 猜想，主张与欧几里得空间中一般（维数为 1）子流形相关的 Fourier 扩展算子，可通过加权 $L^2$ 不等式有效地由经典 X 射线变换进行控制。我们的相空间表述源自 Dendrinos、Mustata 和 Vitturi 等人最近的工作，揭示了与 Flandrin 来自时频分析的猜想密切相关，基于对任意（光滑严格凸）子流形 $S$ 的显式“几何”Wigner 变换的识别。我们的主要结果是自然的“Sobolev 变体”Stein 和 Mizohata--Takeuchi 猜想，涉及估计此类 Wigner 变换的 Sobolev 范数，通过几何形式的经典双线性分数积分。我们广泛的几何框架允许我们探讨子流形曲率在这些问题中的作用，特别是我们获得的界限是独立于子流形曲率的下界的；这在更广泛的 Fourier 变换限制理论中并不常见。最后，我们进一步说明了分析有效性，通过在平面上以 $\varepsilon$ 损失形式建立 Flandrin 猜想的一个形式。尽管我们的视角主要来自欧几里得调和分析，但用于构造扩展算子相空间表示的程序在光学中亦为人所熟知。