图上探索者-指挥者游戏的一条路径变体

探索者-指挥者游戏最初由Nedev和Muthukrishnan（2008）提出，模拟了一个移动代理在具有不一致全局方向感的环形网络中进行探索。两名玩家，探索者和指挥者，共同控制一个令牌在图$G$的顶点上移动，初始位置为$v$。每回合，探索者调用任意有效距离$d$，旨在最大化令牌访问的顶点数，而指挥者则将令牌移动到距离为$d$的任意顶点，旨在最小化访问的顶点数。在最优玩法下，游戏在无法访问新顶点时结束，我们将访问的顶点总数记为$f_d(G,v)$。这里我们研究一个变体：如果令牌位于顶点$u$，探索者可以选择任意有效的\emph{路径长度}$\ell$，然后指挥者将令牌移动到任意顶点$v$，使得$G$包含一条长度为$\ell$的$uv$路径。相应的参数为$f_p(G,v)$。在本文中，我们探讨$f_d(G,v)$和$f_p(G,v)$之间可能相差多远，证明对于任意$n$，存在图$G$和$H$，使得$f_p(G,v)-f_d(G,v)>n$且$f_d(H,v)-f_p(H,v)>n$。