利用球面设计对 PhaseLift 进行部分去随机化

仅从幅度测量中恢复相位信息的问题在过去一个世纪中出现在许多科学领域。PhaseLift 是最近提出的一种相位恢复算法，它具有计算效率高、数值稳定性好以及拥有严格性能保证等优点。PhaseLift 的最优性体现在相位重建所需的幅度测量次数随信号维度线性扩展。然而，它特别要求使用高斯随机测量向量，这一限制不仅制约了其实用性，也模糊了使相位恢复成为可能的测量系综的具体性质。在此，我们提出了一种 PhaseLift 的部分去随机化方案，该方案仅需从某些多项式大小的向量配置（称为 t-设计）中进行采样。此类配置已在代数组合学、编码理论和量子信息领域得到研究。我们证明了重建保证取决于设计的阶数 t。如果允许阶数随维度对数增长，则界限在 polylog 因子范围内是紧的。除了 PhaseLift 这一特定情况外，这项工作还突显了球面设计在数据恢复方案去随机化中的效用。