潜在 $_3C_\ell$-图序列的Pósa型条件

非负整数非增序列 $\pi=(d_1,\ldots,d_n)$ 若可被 $n$ 个顶点上的简单图 $G$ 实现，则称为图序列。图序列 $\pi=(d_1,\ldots,d_n)$ 若存在一个包含每个长度 $r$（$3\le r\le \ell$）的圈的实现，则称为潜在 $_3C_\ell$-图序列。众所周知，若 $\ell$ 个顶点上图 $G$ 的非增度序列 $(d_1,\ldots,d_\ell)$ 满足 Pósa 条件，即对每个满足 $1\le i<\frac{\ell}{2}$ 的 $i$ 有 $d_{\ell+1-i}\ge i+1$，则 $G$ 或是泛圈的或是二部的。本文得到了潜在 $_3C_\ell$-图序列的一个 Pósa 型条件，即证明：若 $\ell\ge 5$ 为整数，$n\ge \ell$，且 $\pi=(d_1,\ldots,d_n)$ 为图序列并满足对每个 $1\le i<\frac{\ell}{2}$ 有 $d_{\ell+1-i}\ge i+1$，则 $\pi$ 为潜在 $_3C_\ell$-图序列。该结果改进了 Yin 等人 [Appl. Math. Comput., 353 (2019) 88--94] 关于潜在 $_3C_\ell$-图序列的 Dirac 型条件，并渐近地回答了 Li 等人 [Adv. Math., 33 (2004) 273--283] 的一个问题。作为一个应用，该结果也完全给出了 $\ell\ge 5$ 且 $n\ge \ell$ 时的 $\sigma(C_\ell,n)$ 值，改进了 Lai [J. Combin. Math. Combin. Comput., 49 (2004) 57--64] 的结果。