Liouville 函数 $\lambda(n)$ 的新型推广及其关联 Dirichlet 级数的收敛结果

我们引入了一种新型算术函数 $w(n)$，作为 Liouville 函数 $\lambda(n)$ 的推广，将其作为 Dirichlet 级数的系数。通过以自然方式对素因子在自然数中分布的信息进行空间编码，$w(n)$ 允许在无需直接了解该分布的情况下，获得本质上依赖于素数分布的结果。我们证明了 $w(n)$ 分布的一些性质，然后给出了其 Dirichlet 级数收敛的结果。我们定义了一个参数化函数族 $w_m(n)$，其中 $w(n)$ 是其一个特例。我们证明每个函数 $w_m(n)$ 将 $\mathbb{N}$ 单射到 $\mathbb{C}$ 中单位圆的一个稠密子集，并且每个 $F_m(s) = \sum_n \frac{w_m(n)}{n^s}$ 对于所有满足 $\Re(s)\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ 的 $s$ 均收敛。最后，我们证明函数族 $w_m(n)$ 收敛于 $\lambda(n)$，且 $F_m(s)$ 关于 $m$ 一致收敛于 $\sum_n \frac{\lambda(n)}{n^s}$，这蕴含了该级数在同一区域内的收敛性，从而证明了一个与密切相关的函数的有趣性质。