关于加权有根树的注记

设 $T$ 为一棵以 $r$ 为根的树。若 $T$ 的两个顶点中一个是另一个的后代，则称它们相关；否则称它们不相关。若对于任意 $a\in A$ 和 $b\in B$，$a$ 和 $b$ 均不相关，则称 $V(T)$ 的两个子集 $A$ 和 $B$ 不相关。设 $\omega$ 是定义在 $V(T)$ 上的非负权函数，且满足 $\sum_{v\in V(T)}\omega(v)=1$。在本注记中，我们证明：要么存在一条 $(r, u)$-路径 $P$ 使得对某个 $u\in V(T)$ 有 $\sum_{v\in V(P)}\omega(v)\ge \frac13$，要么存在不相关集合 $A, B\subseteq V(T)$ 使得 $\sum_{a\in A }\omega(a)\ge \frac13$ 且 $\sum_{b\in B }\omega(b)\ge \frac13$。界 $\frac13$ 是紧的。这回答了 Bonamy、Bousquet 和 Thomass\'e 在最近一篇论文中提出的问题。