关于 Helmholtz 方程 Schrödinger 近似有效性的注记

真空中的时谐电磁波由 Helmholtz 方程 $\Delta u+\omega ^{2}u=0$（$(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$）描述。对于此类波沿 $z$ 轴的演化，可通过多尺度展开得到 Schrödinger 方程。本文旨在通过证明该形式近似与原系统真解之间的界，来论证这一形式近似的合理性。所述有效性分析的挑战在于 Helmholtz 方程作为沿 $z$ 轴的演化系统是不适定的。