关于带权列的限制可逆性的一点注记

限制可逆性定理最初由 Bourgain 和 Tzafriri 于 $1987$ 年引入，并被视为几何与分析中最著名的定理之一。在本注记中，我们给出该定理的带权版本，其估计略有改进。特别地，我们证明对任意 $A\in\mathbb{R}^{n\times m}$ 和 $k,r\in\mathbb{N}$ 且 $k\leq r\leq \mbox{rank}(A)$，存在大小为 $k$ 的子集 $\mathcal{S}$ 使得 $\sigma_{\min}(A_{\mathcal{S}}W_{\mathcal{S}})^2\geq \frac{(\sqrt{r}-\sqrt{k-1})^2}{\|W^{-1}\|_F^{2}}\cdot\frac{r}{\sum_{i=1}^{r}\sigma_{i}(A)^{-2}}$，其中 $W=\mbox{diag}(w_1,\ldots,w_m)$，$w_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列的权重。我们的构造是算法性的，并使用了 Marcus、Spielman 和 Srivastava 发展的多项式交错族。