面向 Beck-Fiala 猜想的改进界限

1981 年，Beck 和 Fiala [Discrete Appl. Math, 1981] 提出猜想：给定的集合系统 $A \in \{0,1\}^{m \times n}$ 的度至多为 $k$（即 $A$ 的每一列最多有 $k$ 个非零元素），其组合差异 $\mathsf{disc}(A) := \min_{x \in \{\pm 1\}^n} \|Ax\|_\infty$ 最多为 $O(\sqrt{k})$。此前，此猜想的最佳已知界限要么是 $O(k)$（由 Beck 和 Fiala [Discrete Appl. Math, 1981] 首次建立），要么是 $O(\sqrt{k \log n})$（由 Banaszczyk [Random Struct. Algor., 1998] 首次证明）。我们给出一种算法性证明，对于 $k \geq \log^5 n$ 的情况，给出改进的界限为 $O(\sqrt{k \log\log n})$，从而在几乎完整的 $k$ 范围内将 Beck-Fiala 猜想缩小到 $O(\sqrt{\log \log n})$ 的因子。