关于随机集合系统的 Beck-Fiala 猜想

受 Beck-Fiala 猜想的启发，我们研究了随机稀疏集合系统的差异界。具体而言，这些集合系统 $(X,\Sigma)$ 中每个元素 $x \in X$ 属于 $\Sigma$ 中 $t$ 个随机选取的集合，$t$ 为整数参数。我们在两种参数情形下给出了新的界。我们证明当 $|\Sigma| \ge |X|$ 时，$(X,\Sigma)$ 的遗传差异以高概率为 $O(\sqrt{t \log t})$；而当 $|X| \gg |\Sigma|^t$ 时，$(X,\Sigma)$ 的遗传差异以高概率为 $O(1)$。第一个界结合了 Lovász 局部引理与基于部分匹配的新论证；第二个界源于对稀疏向量所张成格的分析。