随机过程上确界的伯恩斯坦型不等式及其在非高斯回归模型选择中的应用

设 $\pa{X_{t}}_{t\in T}$ 是由可数集 $T$ 索引的一族实值中心化随机变量。在本文的第一部分，我们通过使用 Talagrand (2005) 中引入的通用链式装置，建立了上确界 $Z=\sup_{t\in T}X_{t}$ 的偏差概率的指数界。与集中不等式相比，这些界在族 $\pa{X_{t}}_{t\in T}$ 的条件较弱时具有优势。论文的第二部分面向统计学。我们考虑回归设定 $Y=f+\eps$，其中 $f$ 是 $\R^{n}$ 中的未知向量，$\eps$ 是一个随机向量，其分量独立、中心化，并在 0 的邻域内具有有限的拉普拉斯变换。我们的目标是通过在 $\R^{n}$ 的线性子空间集合中进行模型选择，根据 $Y$ 的观测来估计 $f$。我们提出的选择程序基于最小化一个惩罚准则，该准则的惩罚项通过使用本文第一部分建立的偏差界进行校准。更精确地说，我们研究了当 $t$ 在 $\R^{n}$ 的线性子空间的单位球内变化时，形如 $X_{t}=\sum_{i=1}^{n}t_{i}\eps_{i}$ 的随机变量的上确界。最后，我们证明了在集合中线性空间的度量结构的适当假设下，我们的估计量满足某种预言不等式。