关于 Dunkl 情形下奇异积分与 BMO 和 VMO 函数交换子的注记

在装备了根系 $R$、重数函数 $k \geq 0$ 以及相伴测度 $dw(\mathbf{x})=\prod_{\alpha \in R}|\langle \mathbf{x},\alpha\rangle|^{k(\alpha)}\,d\mathbf{x}$ 的 $\mathbb R^N$ 上，我们考虑一个（非径向）核 ${K}(\mathbf{x})$，其具有类似于经典奇异积分理论及与 ${K}$ 相关联的 Dunkl 卷积算子 $\mathbf{T}f=f*K$ 的性质。假设 $b$ 属于齐型空间 $X=(\mathbb{R}^N,\|\cdot\|,dw)$ 上的 ${\rm BMO}$ 空间，我们证明交换子 $[b,\mathbf{T}]f(\mathbf{x})=b(\mathbf{x})\mathbf{T}f(\mathbf{x})-\mathbf{T}(bf)(\mathbf{x})$ 在 $L^p(dw)$ 上对所有 $1<p<\infty$ 是有界算子。此外，若 $b\in {\rm VMO} (X)$，则 $[b,\mathbf T]$ 在 $L^p(dw)$ 上是紧的。本文推广了 Han、Lee、Li 和 Wick 的结果。