交换半环上加权交替自动机的 Nivat 定理

本文将加权交替有限自动机（WAFA）、加权有限树自动机（WFTA）和多项式自动机（PA）这几类联系起来。首先，我们研究树在加权交替自动机运行语义中的使用，并证明若权值取自交换半环，则加权交替自动机的行为可刻画为加权有限树自动机的行为与特定树同态的复合。基于此，我们给出加权交替自动机的一个类 Nivat 刻画。此外，我们证明加权交替自动机所识别的级数在反同态下封闭，但在同态下不封闭。另外，我们给出加权交替自动机的逻辑刻画，其使用树的加权 MSO 逻辑。最后，我们研究加权交替自动机与多项式自动机之间的强联系。我们证明：一个加权语言被加权交替自动机识别当且仅当其逆被多项式自动机识别。利用多项式自动机的相应结果，我们能够证明权值取自有理数的加权交替自动机的零性问题（ZERONESS）是可判定的。