基于特征偏微分方程中双重估计的多元正态性新检验

本文研究基于 $X$ 的随机样本 $X_1,\ldots,X_n$ 检验 $d$ 维随机向量 $X$ 的非退化正态性。该检验的原理在于：$\mathbb{R}^d$ 中标准正态分布的特征函数 $\psi(t) = \exp(-\|t\|^2/2)$ 是偏微分方程 $\Delta f(t) = (\|t\|^2-d)f(t)$、$t \in \mathbb{R}^d$ 在条件 $f(0) = 1$ 下的唯一解。与近期一种将多元正态性检验建立在差值 $\Delta \psi_n(t)-(\|t\|^2-d)\psi(t)$ 上的方法（其中 $\psi_n(t)$ 为 $X_1,\ldots,X_n$ 适当缩放残差的经验特征函数）不同，我们考虑采用 $\Delta \psi_n(t)-(\|t\|^2-d)\psi_n(t)$ 的加权 $L^2$ 统计量。我们推导了原假设与备择假设下该检验的渐近性质。该检验具有仿射不变性，对一般备择假设一致，且与主要竞争方法相比表现出较高功效。