Erdős-Rényi 图、传染病模型与带抛物型漂移的布朗运动之间的新关系

在 Reed-Frost 模型（一种 SIR 传染病模型的例子）中，可以考察一个统计量为同时被感染个体的数量。该统计量可重新表述为 \ER 随机图 $G(n,p)$ 上的一个统计量。在 Aldous 和 Martin-Löf 的临界窗口内，即当 $p = p(n) = n^{-1}+\lambda n^{-4/3}$ 时，该统计量的累积和弱收敛于一个带抛物型漂移的布朗运动的积分。当 $p = (1+\lambda \varepsilon_n)/n$ 且 $\varepsilon_n\to 0$、$n^{1/3}\varepsilon_n\to\infty$ 时，同一统计量呈现出确定性缩放极限。