标量积空间中的新极分解

关于由非奇异矩阵 $M\in \mathbb{K}^{m\times m}$ 和 $N\in \mathbb{K}^{n\times n}$ 定义的双线性或半双线性积，对矩阵 $F \in \mathbb{K}^{m\times n}$（其中 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 或 $\mathbb{R}$）的右极分解与左极分解有各种定义。在各种关于 $F$、$M$ 和 $N$ 的假设下，这类分解的存在性与唯一性已被研究。本文引入一种新形式的右极分解与左极分解，分别为 $F=WS$ 和 $F=S'W'$，其中矩阵 $W$ 具有关于适当定义的标量积的标准正交列（$W'$ 具有标准正交行），这些标量积是 $M$、$N$ 和 $F$ 的函数，且矩阵 $S$ 关于同样适当定义的标量积自伴，并且其特征值仅位于开右半平面内。我们证明，当矩阵 $F$ 满足 $(F^{[M,N]})^{[N,M]}=F$ 且 $F^{[M,N]}F$（相应地，$FF^{[M,N]}$）非奇异时，对于任意非奇异矩阵 $M$ 和 $N$，我们的右分解与左分解存在且唯一，其中 $F^{[M,N]}=N^{-1} F^\# M$，对于实或复双线性型有 $F^\#=F^T$，对于半双线性型有 $F^\#=\bar{F}^T$。当 $M=N$ 时，我们的结果适用于非奇异方阵 $F$。我们对 $F$、$M$ 和 $N$ 的假设相较于先前关于极分解的工作，在某些方面更弱，在某些方面更强。