度量空间中三点间夹角的新概念

我们给出了广义度量空间中夹角的新概念；更确切地说，给定度量空间 $(X,d)$ 中的三点 $p,x,q$，我们引入角锥 ${\angle_{pxq}}$ 的概念，将其定义为一个区间 ${\angle_{pxq}}:=[\angle^-_{pxq},\angle^+_{pxq}]$，其中量 $\angle^\pm_{pxq}$ 是通过一般度量空间上局部 Lipschitz 函数的微分与梯度的对偶构造，利用从 $p$ 和 $q$ 出发的距离函数来定义的。我们的定义在欧几里得平面中给出了三点间的标准夹角，而在黎曼流形中，若 $x$ 不在 $p$ 或 $q$ 的割迹 (cut locus) 上，则与测地线间的通常夹角一致。我们表明，一般情况下角锥并非单值的（即使度量空间是光滑黎曼流形，若 $x$ 位于 $p$ 或 $q$ 的割迹上亦是如此）；但若赋予度量空间一个正 Borel 测度 $m$ 从而得到度量测度空间 $(X,d,m)$，则在相当一般的假设下（包括许多基本例子，如黎曼流形、具有下方曲率界的有限维 Alexandrov 空间、具有下方 Ricci 曲率界的黎曼流形的 Gromov-Hausdorff 极限，以及具有严格凸范数的赋范空间），对于固定的 $p,q \in X$，角锥在 $m$-几乎处处 $x \in X$ 上是单值的。我们证明了角锥的一些基本性质（例如在空间伸缩变换下的不变性），并详细分析了 $(X,d,m)$ 为具有下方 Ricci 曲率界的黎曼流形序列的测度 Gromov-Hausdorff 极限的情形，表明我们的定义与 Honda 最近提出的构造是一致的。