LS-范畴的一个新下界不变量

设 $X$ 为有限型的单连通 CW-复形，$\mathbb{K}$ 为任意域。LS-范畴 $cat(X)$ 的第一个已知下界是 Toomer 不变量 $e_{\mathbb{K}} (X)$（\cite{Too}）。20 世纪 80 年代，F\'elix 等人引入了代数拓扑中的{\it depth}概念并证明了 depth 定理：$depth (H_*(\Omega X, \mathbb{K})) \leq cat(X)$。在本文中，我们利用 $X$ 的 Eilenberg-Moore 谱序列引入一个新的数值不变量，记为 $\textsc{r}(X, \mathbb{K})$，并证明它具有与 $e_{\mathbb{K}} (X)$ 相同的性质。当赋值映射（\cite{FHT88}）非平凡且 $char(\mathbb{K})\not = 2$ 时，我们证明 $\textsc{r}(X, \mathbb{K})$ 插值于 $depth(H_*(\Omega X, \mathbb{K}))$ 和 $e_{\mathbb{K}} (X)$ 之间。因此，我们改进了 L. Bisiaux 定理（\cite{Bis99}），进而改进了 depth 定理。受这些结果的启发，我们将一个纯代数不变量 $\textsc{r}(A,d)$ 关联到任意交换微分分次代数 $(A,d)$，并通过极小模型理论将其与我们之前的拓扑结果联系起来。特别地，若 $(\Lambda V,d)$ 是一个满足 $d=\sum_{i\geq k}d_i$ 且 $d_i(V)\subseteq \Lambda ^iV$ 的 Sullivan 极小代数，则可获得一个更大的下界，即 $e_0(\Lambda V, d)\geq \textsc{r}(\Lambda V, d) + (k-2)$。