Capparelli 恒等式的一个新伴生恒等式

我们讨论 Capparelli 恒等式的一个新伴生恒等式。针对 $m=1,2$ 的 Capparelli 恒等式指出：将 $n$ 分拆为互不相同的部分，且这些部分模 $6$ 不同余于 $m$ 或 $-m$ 的分拆数，等于将 $n$ 分拆为互不相同的部分且这些部分不等于 $m$ 的分拆数，其中部分之间的差大于或等于 4，除非连续部分要么都是 3 的连续倍数，要么相加为 6 的倍数。在本文中，我们证明了将 $n$ 分拆为互不相同部分的集合（其中奇数索引部分模 3 不同余于 $m$，偶数索引部分模 3 不同余于 $-m$，且对于任意整数 $l$，$3l+1$ 和 $3l+2$ 不作为连续部分同时出现）的元素个数，与上述提到的 $n$ 的 Capparelli 分拆数相同。在本研究中，我们还通过提供 refined Capparelli 分拆的完整生成函数集，扩展了 Alladi、Andrews 和 Gordon 的工作，并猜想了一些组合不等式。