Wigner 矩阵边缘普适性的一种新的组合方法

在本文中，我们引入一种新的组合方法来分析 Wigner 矩阵大幂次的迹。我们的方法受 \citet{sosh} 一文的启发，但计数方式不同。我们从类似于 \citet{AZ05} 的经典字词语句方法出发，并受 \citet{sinaisosh}、\citet{sosh} 和 \citet{peche2009universality} 的启发，将字词编码为类似于 Dyck 路径的对象。准确地说，该映射将一个字词映射为一条去掉若干边的 Dyck 路径。利用这一新计数，我们证明了具有次高斯元素的 Wigner 大矩阵边缘普适性。该方法的新颖之处在于，与 \citet{sinaisosh}、\citet{sosh} 和 \citet{peche2009universality} 不同，我们不需要假设矩阵元素关于 $0$ 对称分布。本文的主要技术贡献有两方面。首先，我们给出了 Wigner 矩阵“贡献字词”（定义见第 \ref{sec:word} 节）的一种编码，可恢复边缘普适性，因此这是所能做到的最好结果。我们希望该方法可应用于随机矩阵中许多其他情形。其次，在本文过程中，我们给出了 GOE Tracy-Widom 律的组合描述。GUE 的解释非常类似。这一解释对于无法做精确计算但存在某些组合结构的模型可能十分重要。