一种基于平面波激活函数求解Helmholtz方程的神经网络

本文提出一种基于平面波激活的神经网络（PWNN）用于求解Helmholtz方程，该方程是表示波传播（如声波、电磁波和地震波）的基本偏微分方程。不同于使用传统激活神经网络（TANN）或基于$sin$激活的神经网络（SIREN）求解一般偏微分方程，我们引入复激活函数$e^{\mathbf{i}{x}}$，即平面波，它是Helmholtz方程解的基本分量。通过一个简单推导，我们进一步发现PWNN实际上是平面波单位分解法（PWPUM）的推广，通过额外施加同时具有振幅和方向的学习基来更好地刻画潜在解。我们首先在一个解为由所有已知方向的平面波积分而成的问题上考察性能。实验表明：PWNN在不同架构或训练样本数量下均远优于TANN和SIREN，这意味着平面波激活确实有助于增强神经网络对Helmholtz方程解的表示能力；PWNN具有与PWPUM竞争的性能，例如相同的收敛阶但更小的相对误差。此外，我们关注一个更实际的问题，其解仅由某些未知方向的平面波积分而成。我们发现PWNN在此情形下远优于PWPUM。不同于PWPUM中使用固定方向的平面波基，PWNN能学习一组优化的平面波基，可更好地预测解的未知方向。所提方法可为深度学习在Helmholtz方程中的应用提供新见解。