模的无限直和分解的幺半群理论方法

设$\mathcal C$是环$R$上的一类模，在基数$\kappa$的指标集上的直和与同构下封闭，并且同构类构成一个集合。模的幺半群$V(\mathcal C)$编码了$\mathcal C$中模的有限直和分解的行为。我们赋予$V(\mathcal C)$一个额外的运算来反映$\kappa$指标直和，并研究得到的$\kappa$-幺半群$V^{\kappa}(\mathcal C)$。辫子性质和一个等价的泛性质使我们能够证明：如果$\mathcal C$中的每个模都是严格少于$\lambda$个元素生成的模的直和，那么$V^{\kappa}(\mathcal C)$上的所有关系都由基数严格小于$\lambda$的集合指标直和之间的关系诱导。Kaplansky的一个定理指出每个投射模都是可数生成模的直和。我们对此进行补充，证明投射模的无限直和之间的所有关系也由可数生成投射模的可数直和之间的关系诱导。如果环$R$上的每个投射模都是有限生成投射模的直和，那么有限生成投射模的幺半群$V(R)$完全决定了$\kappa$-幺半群$V^{\kappa}(R)$。结合Bergman和Dicks的实现结果，这刻画了作为遗传环的$V^{\kappa}(R)$出现的$\kappa$-幺半群。一般地，$\aleph_0$-幺半群$V^{\aleph_0}(R)$完全决定了$V^{\kappa}(R)$。Herbera和P\v{r}\'ihoda关于半局部诺特环上可数生成投射模的幺半群$V^*(R)$的刻画，给出了这些环的$V^{\kappa}(R)$的刻画。我们还刻画了作为遗传环$R$的$V^{\aleph_0}(R)$出现的二元生成$\aleph_0$-幺半群。