确定给定尺寸分布下瞬态生长动力学的数学处理

颗粒粗化和晶粒生长发生是为了最小化总界面能。Lifshitz、Slyozov [1]、Wagner [2] 和 Hillert [3] 的经典平均场处理预测了体扩散控制的沉淀粗化下的立方生长定律和界面控制的晶粒生长下的抛物线生长定律，以及它们的稳态尺寸分布。当尺寸分布为稳态时，平均晶粒尺寸满足以下依赖关系：在体扩散控制和界面控制下，斜率由理论明确给出。然而，当尺寸分布不满足稳态时，生长动力学将偏离理论预测。如参考文献 4 和 5 中的数值模拟所示，这种偏离在生长定律中不太明显，但在生长曲线的斜率中更为明显。具体而言，从非稳态尺寸分布开始，抛物线/立方生长定律会迅速恢复，但 $d\langle R \rangle^n/dt$ 或 $\langle R \rangle^n$ 曲线中斜率的收敛极其缓慢。因此，了解如何从任意给定的尺寸分布计算生长动力学的瞬时斜率将很有趣。如下所示，假设已知生长定律，可以容易地获得解析解，并且可以通过数值积分获得精确解。