由 Poisson 过程驱动的抽象 Cauchy 问题渐近理论的 Markov 过程方法

本文利用 Markov 过程理论证明一类随机过程的渐近结果，该类过程作为随机演化包含的解出现，并由表示公式 \begin{align*} \mathbb{X}_{x}(t)=\sum \limits_{m=0}\limits^{\infty}T((t-\alpha_{m})_{+})(x_{x,m})1\hspace{-0,9ex}1_{[\alpha_{m},\alpha_{m+1})}(t), \end{align*} 给出，其中 $(T(t))_{t \geq 0}$ 是作用于可分 Banach 空间 $(V,||\cdot||_{V})$ 的（非线性）时间连续压缩半群，$(\alpha_{m})_{m \in \mathbb{N}}$ 是齐次 Poisson 过程的到达时间序列，$x$ 是 $V$ 值随机变量，$(x_{x,m})_{m \in \mathbb{N}}$ 是递归定义的 $V$ 值随机变量序列，满足 $x_{x,0}=x$。我们将证明，在对所涉及随机变量作某些分布假设下，$\mathbb{X}_{x}$ 是时间连续的 Markov 过程，并且在 $T$ 满足多项式衰减条件时服从强大数定律（SLLN），若衰减速率足够快则也服从中心极限定理（CLT）。最后，我们考虑两个例子：一个非线性常微分方程以及（加权）$p$-Laplacian 演化方程，其中 $p \in (2,\infty)$。