度量结构的 López-Escobar 定理与拓扑 Vaught 猜想

我们证明了 López-Escobar 定理的一个版本在度量结构逻辑的设定下成立。更确切地说，设 $\mathbb{U}$ 表示 Urysohn 球，$\mathrm{Mod}(\mathcal{L},\mathbb{U})$ 为支撑在 $\mathbb{U}$ 上的度量 $\mathcal{L}$ 结构空间。则对于任意 $\mathrm{Iso}(\mathbb{U})$ 不变的 Borel 函数 $f\colon \mathrm{Mod}(\mathcal{L}, \mathbb{U})\rightarrow \lbrack 0,1]$，存在 $\mathcal{L}_{\omega_{1}\omega}$ 的一个句子 $\phi$，使得对于所有 $M\in \mathrm{Mod}(\mathcal{L},\mathbb{U})$ 有 $f(M)=\phi ^{M}$。同时，我们引入了 $\mathcal{L}_{\omega_1\omega}$ 的一个变体 $\mathcal{L}_{\omega_1\omega}^\ast$，其中通常的量词被范畴量词所取代，并为 $\mathcal{L}_{\omega_1\omega}^\ast$ 建立了类似的定理。这回答了 Ivanov 和 Majcher-Iwanow 的一个问题。我们证明了若干推论，例如，Polish 群作用的每条轨道等价关系都 Borel 同构于支撑在 Urysohn 球上的给定 $\mathcal{L}_{\omega_{1}\omega}$ 句子模型集上的同构关系。这进而提供了拓扑 Vaught 猜想的一个模型论重述。