高维广义 Contou-Carr\`ere 符号及其互反律

我们将 Contou-Carr\`ere 符号理论推广到高维。对于一个 $(n+1)$-元组 $f_0,\dots,f_n \in A((t_1))\cdots((t_n))^{\times}$，其中 $A$ 表示域 $k$ 上的交换代数，我们关联一个元素 $(f_0,\dots,f_n) \in A^{\times}$，该元素与 $k = A$ 时的高阶 tame 符号兼容，并与 $n = 1$ 时由 Contou-Carr\`ere 以及 $n = 2$ 时由 Osipov--Zhu 提出的早期构造一致。我们的定义基于谱对群的中心扩张的\emph{高阶交换子}概念，从而扩展了 Arbarello--de Concini--Kac 和 Anderson--Pablos Romo 的方法。遵循 Beilinson--Bloch--Esnault 针对 $n=1$ 情形的工作，我们允许 $A$ 为任意代数，而不局限于 Artin 代数。作者此前关于精确范畴中 Tate 对象以及代数 $K$-理论中指数映射的工作对于将我们的方法锚定于前人研究至关重要。我们还重新审视了稳定 $\infty$-范畴背景下的范畴形式完备化。利用这些工具，我们将高阶 Contou-Carr\`ere 符号描述为代数 $K$-理论中边界映射的复合，并通过证明高阶 Contou-Carr\`ere 符号的 Parshin--Kato 互反律的一个版本来结束本文。