Łoś-Tarski 保持定理的推广

在本论文中，我们针对每个自然数 $k$，给出了在所有有限和无限结构上，一阶逻辑语句的 $\exists^k \forall^*$ 和 $\forall^k \exists^*$ 前缀类的语义刻画。这一结果，我们称之为*广义 Łoś-Tarski 定理*，缩写为 $\mathsf{GLT}(k)$，当 $k$ 等于 0 时即得到经典的 Łoś-Tarski 保持定理。它还为 $\Sigma^0_2$ 和 $\Pi^0_2$ 前缀类提供了新的刻画，比文献中所有对这些类的刻画都更精细。此外，我们的语义概念本质上是有限性的，这与文献刻画中包含的概念形成对比。在有限结构的语境下，我们提出了一个结构的抽象组合性质，当一个类满足该性质时，可确保 $\mathsf{GLT}(k)$ 在该类上成立。这一性质，我们称之为*等价有界子结构性质*，缩写为 $\mathsf{EBSP}$，直观上表明一个大结构包含一个小的“逻辑相似”子结构。事实证明，这个简单陈述的性质为计算机科学中许多感兴趣的类所享有：例子包括词、树（无序、有序或排序树）、嵌套词、有界树深/灌木深的图类，以及 $m$-部余图。此外，$\mathsf{EBSP}$ 在各种被广泛研究的操作下保持，如补、转置、线图操作、不交并、笛卡尔积和张量积等。这使得能够构造出满足 $\mathsf{EBSP}$ 并因此满足 $\mathsf{GLT}(k)$ 的广泛类谱系。值得注意的是，$\mathsf{EBSP}$ 可被视为经典向下 Löwenheim-Skolem 性质的有限性类比。总之，本论文在所有结构和有限结构这两种语境下都提供了新的概念和结果。