凸优化中精确稀疏表示恢复的一般理论
最优化与控制
2023-11-15 v1
摘要
本文研究由凸泛函正则化的通用无限维优化问题中数据稀疏表示的恢复。我们表明，可以对最小范数对偶证书定义合适的非退化条件，从而推广与测度空间中全变分正则化问题相关的成熟非退化源条件 (NDSC)，如 (Duval and Peyré, FoCM, 15:1315-1355, 2015) 所引入。在我们的通用设定中，需要通过对偶积研究对偶证书如何作用于正则化器单位球（视为度量空间）的极值点集合。这印证了“度量非退化源条件”(MNDSC) 这一名称。更确切地说，我们对对偶证书施加二阶条件，该条件在取值于给定 n 个极值点小邻域的曲线上求值。通过假设 MNDSC 成立，以及这些极值点上测量的线性无关性，我们确立：对于正则化参数与噪声水平的适当选择，最小化问题的极小元唯一，且唯一地表示为 n 个极值点的线性组合。论文最后给出了三个相关问题中 MNDSC 的显式表述。首先，我们考察全变分正则化反卷积问题，表明经典 NDSC 蕴含我们的 MNDSC，并恢复了与 (Duval and Peyré, FoCM, 15:1315-1355, 2015) 类似的结果。接着，我们考虑以 BV 半范数正则化的一维 BV 函数，以及以互 1-Wasserstein 距离正则化的测度对。在每种情况下，我们给出 MNDSC 的显式版本并表述具体的稀疏表示恢复结果。
引用
@article{arxiv.2311.08072,
title = {A General Theory for Exact Sparse Representation Recovery in Convex Optimization},
author = {Marcello Carioni and Leonardo Del Grande},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.08072},
year = {2023}
}