高斯噪声中条件均值估计量的一般导数恒等式及其应用

考虑信道 ${\bf Y}={\bf X}+ {\bf N}$，其中 ${\bf X}$ 为 $n$ 维随机向量，${\bf N}$ 为具有协方差矩阵 ${\bf \mathsf{K}}_{\bf N}$ 的高斯向量。本文所考察的对象是给定 ${\bf Y}={\bf y}$ 时 ${\bf X}$ 的条件均值，即 ${\bf y} \to E[{\bf X}|{\bf Y}={\bf y}]$。文献中若干恒等式将 $E[{\bf X}|{\bf Y}={\bf y}]$ 与其他量如条件方差、得分函数和高阶条件矩相联系。本文旨在提供这些恒等式的统一视角。在第一部分中，推导了条件均值的一般导数恒等式。具体而言，对于马尔可夫链 ${\bf U} \leftrightarrow {\bf X} \leftrightarrow {\bf Y}$，证明了 $E[{\bf U}|{\bf Y}={\bf y}]$ 的雅可比由 ${\bf \mathsf{K}}_{{\bf N}}^{-1} {\bf Cov} ( {\bf X}, {\bf U} | {\bf Y}={\bf y})$ 给出。在第二部分中，通过对 ${\bf U}$ 的不同选取，利用新恒等式推广了许多已知恒等式并推导了一些新恒等式。首先，给出了 Hatsel 和 Nolte 条件方差恒等式的简单证明。其次，提供了 Jaffer 递归恒等式的简单证明。第三，展示了条件累积量与条件期望之间的新联系。特别地，证明了 $E[X|Y=y]$ 的第 $k$ 阶导数是第 $(k+1)$ 阶条件累积量。第三部分考虑了一些应用。在第一个应用中，推导了 $E[X|Y=y]$ 的幂级数与复合逆。在第二个应用中，推导了估计误差 $(X-E[X|Y])$ 的分布。在第三个应用中，我们从 i.i.d. 序列 $Y_1,...,Y_n$ 构造了条件累积量的一致估计量（经验贝叶斯估计量）。