关于条件期望的一般导数恒等式及其在指数族上的应用

考虑一对随机向量 $(\mathbf{X},\mathbf{Y})$ 与条件期望算子 $\mathbb{E}[\mathbf{X}|\mathbf{Y}=\mathbf{y}]$。本文通过刻画各种导数恒等式来研究条件期望的分析性质。论文由两部分组成。在第一部分中，推导了条件期望的一个一般导数恒等式。具体而言，对于马尔可夫链 $\mathbf{U} \leftrightarrow \mathbf{X} \leftrightarrow \mathbf{Y}$，推导了 $\mathbb{E}[\mathbf{U}|\mathbf{Y}=\mathbf{y}]$ 的雅可比矩阵的紧凑表达式。在第二部分中，将主要恒等式专门应用于指数族。此外，通过对随机向量 $\mathbf{U}$ 的多种选择，利用该新恒等式恢复并推广了若干已知恒等式，并推导了一些新恒等式。作为第一个例子，建立了 $\mathbb{E}[\mathbf{X}|\mathbf{Y}=\mathbf{y}]$ 的雅可比矩阵与条件方差之间的联系。作为第二个例子，发现了高阶条件期望之间的递归表达式，并表明其可导出 Tweedy 恒等式的推广。最后，作为第三个例子，表明条件期望的 $k$ 阶导数与第 $(k+1)$ 阶条件累积量成正比。