标量高斯信道中条件期望的多项式逼近

我们考虑信道 $Y=X+N$，其中 $X$ 是满足 $\mathbb{E}[|X|]<\infty$ 的随机变量，$N$ 是独立的标准正态随机变量。我们证明，由条件期望 $\mathbb{E}[X \mid Y]$ 给出的从 $Y$ 对 $X$ 的最小均方误差估计器是 $Y$ 的多项式，当且仅当它是线性的或常数的；这两种情形分别对应于 $X$ 为高斯变量或常数。我们还证明，映射 $y \mapsto \mathbb{E}[X \mid Y=y]$ 的高阶导数可表示为函数 $y \mapsto \mathbb{E}\left[ \left( X - \mathbb{E}[X \mid Y] \right)^k \mid Y = y \right]$（其中 $k\in \mathbb{N}$）的多元多项式。这些表达式给出了条件期望导数之 $2$-范数的界。这些界意味着，若 $X$ 具有紧支撑密度且在正半轴上为偶且递减，则用 $Y$ 的次数不超过 $n$ 的多项式逼近条件期望 $\mathbb{E}[X \mid Y]$ 的误差衰减速度快于 $n$ 的任意多项式。