多元高斯随机变量的条件独立性与弱实现的刻画：在网络中的应用

使用（1）Hotelling 的高斯随机变量几何方法——典型变量形式，以及（2）van Putten 和 van Schuppen 通过高斯随机变量 $W : \Omega \rightarrow {\mathbb R}^n$ 对联合分布 ${\bf P}_{X_1, X_2, W}$ 的参数化方法（该变量使 $(X_1,X_2)$ 条件独立，以及 $(X_1, X_2)$ 的弱随机实现），重新考察了 Gray 和 Wyner 针对生成联合高斯随机变量（RVs）元组 $X_1 : \Omega \rightarrow {\mathbb R}^{p_1}$ 和 $X_2 : \Omega \rightarrow {\mathbb R}^{p_2}$ 的简单网络的有损信源编码，该编码在两个解码器处相对于平方误差失真。第（2）项用于通过随机变量 $W$ 的协方差矩阵来参数化 Gray 和 Wyner 信源编码问题在均方误差失真 ${\bf E}\big\{||X_i-\hat{X}_i||_{{\mathbb R}^{p_i}}^2 \big\}\leq \Delta_i \in [0,\infty], i=1,2$ 下的有损码率区域。由此可得，Wyner 公共信息 $C_W(X_1,X_2)$（信息论定义）由具有单位协方差矩阵的 $W$ 实现，同时推导了 Wyner 有损公共信息（操作定义）的公式，给定为 $C_{WL}(X_1,X_2)=C_W(X_1,X_2) = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \ln \left( \frac{1+d_j}{1-d_j} \right),$，对于失真区域 $0\leq \Delta_1 \leq \sum_{j=1}^n(1-d_j)$，$0\leq \Delta_2 \leq \sum_{j=1}^n(1-d_j)$，其中 $1 > d_1 \geq d_2 \geq \ldots \geq d_n>0$ 在 $(0,1)$ 中是经由元组 $(X_1, X_2)$ 的典型变量形式计算出的{\em 典型相关系数}。这些方法对于多用户通信的其他问题具有根本重要性，其中条件独立性被作为约束施加。