Baumslag-Solitar 群表示的对偶方法

我们给出了一种算子理论方法，用于构建在小波基构造和分形上的 Hilbert 空间中所使用的多分辨率分析。我们的方法始于经典 Baumslag-Solitar 关系 $u t = t^2 u$ 的以下版本，其中 $t$ 是 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 中的酉算子，$u$ 是 $\mathcal H$ 中的等距算子。该系统存在等距膨胀到更大的 Hilbert 空间中，这与小波相关。对于各种精心选择的膨胀，这个“更大”的 Hilbert 空间可以是 $L^2(\br)$，而膨胀后的算子可以是定义 $L^2(\br)$ 上二进小波多分辨率的酉算子，其中子空间 $\mathcal H$ 作为相应的分辨率子空间。即，由小波尺度函数生成的初始分辨率。在膨胀后的 Hilbert 空间中，Baumslag-Solitar 关系采取了更熟悉的形式 $u t u^{-1} = t^2$。我们提供了一个包含标准构造的算子理论框架；并展示了某些离散半直积群的表示如何用于对这些可能性进行分类。为此，我们分析并比较了这些半直积群的几种酉表示类型：Mackey 理论中的诱导表示、$L^2(\br)$ 上的小波表示、对偶空间上的不可约表示、有限维表示以及正则表示。