打靶法的度理论途径

经典打靶法旨在寻找合适的初始打靶位置以命中期望目标。本文提出的新途径以“目标映射”的引入与分析为核心，自然地将经典打靶法与简洁优美的拓扑度理论联系起来。我们将这一新途径应用于一个启发性例子，以推导 Hardy-Littlewood-Sobolev（亦称 Lane-Emden）型方程组：\n$$\n\begin{aligned}\n&(-\triangle)^k u(x) = v^p(x), \,\, u(x)>0 \quad\text{in}\quad\mathbb{R}^n, \\\n&(-\triangle)^k v(x) = u^q(x), \,\, v(x)>0 \quad\text{in}\quad\mathbb{R}^n,\n\end{aligned}\n$$\n在临界与超临界情形 $\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}\leq\frac{n-2k}{n}$ 下全局正解的存在性。在此我们通过计算适当定义的目标映射的拓扑度来导出存在性。这一结果以及本文给出的其他若干结果，完全解决了关于正整体解存在性与非存在性的几个长期悬而未决的公开问题。