Grain Boundary能量最小化的收敛ADMM算法

本文研究源自材料科学的约束最小化问题，用于确定晶界（线缺陷）结构。该问题旨在约束Frank公式的条件下，最小化具有晶界能量的能量。该约束最小化问题中，目标函数（即晶界能量）为非凸且可分，约束为线性。为解决该约束最小化问题，我们修改了交替方向乘子法（ADMM），并采用递增惩罚参数。我们对修改后的ADMM在非凸最小化问题中的收敛性进行了分析，所采用的设置与现有ADMM收敛性研究不同。具体而言，在线性约束中，每个子变量块的系数矩阵具有满列秩。该性质使得若惩罚参数足够大，每个子变量的最小化问题均为强凸，从而促进了ADMM的收敛，且无需对整个目标函数作任何凸性假设。我们证明，该ADMM序列的极限为原始可行解，且为增广拉格朗日函数的驻点。此外，我们获得充分条件，表明目标函数为准凸，从而在给定域内具有唯一最小值。本文给出数值示例以验证算法的收敛性，并比较了惩罚法、增广拉格朗日法和修改ADMM的结果。