二维多晶体有效弹性张量作为晶体弹性张量函数的连分式近似

对于二维多晶体，考虑了有效弹性张量 $C_*$ 作为组成晶体的弹性张量 $C_0$ 的函数 $C_*(C_0)$。结果表明，该函数可以用一个具有连分式展开的函数来近似，该展开类似于与一类称为顺序层合材料的微结构相关联的展开。这些是由归纳定义的分层微结构。秩0的顺序层合材料仅仅是纯晶体的旋转。秩 $j$ 的顺序层合材料是通过将秩 $j-1$ 的顺序层合材料与纯晶体的一个旋转体层合在一起而获得的，层合发生在远大于现有微结构的长度尺度上，且界面垂直于某个方向 $n_j$。对于任意多晶体微结构，连分式近似通常采用比顺序层合材料更一般的形式，但具有一些自由参数。这些自由参数是否总能被调整，使得连分式近似与顺序层合材料的连分式精确匹配，这是一个悬而未决的问题。如果是这样，那么我们就将证明二维多晶体的弹性响应总是可以被顺序层合材料的弹性响应所模拟。我们的分析可以推广到更一般的情况，其中应变被一个场 $E(x)$ 替代，该场是矢量势 $u(x)$ 的梯度，即 $E=\nabla u$，而应力被一个矩阵值场 $J(x)$ 替代，该场不必是对称的，但具有零散度 $\nabla\cdot J=0$。进入本构关系 $J=L E$ 的张量 $L(x)$ 局部上是纯晶体张量 $L_0$ 的一个旋转，它不必具有任何特殊的对称性，并且有16个独立的张量元素。