基于Stark猜想的齐次性线构成方法

我们提出了一种构造 $\mathbb{C}^d$ 中 $d^2$ 个复等角线的方法，这些线也称为SICPOVMs，Zauner conjectured 其在所有 d 处都存在。该构造给出了在所有 d > 3 维度下具有Weyl-Heisenberg对称性的SIC的所谓“幽灵SIC”的显式表达式列表。这种“幽灵SIC”是从特殊函数的实乘值构造而成，其与SIC是伽罗瓦共轭的。该特殊函数——Shintani-Faddeev模 cocycle，更准确地说是一个由单诺模群的仿射子组索引的meromorphic函数元组。我们在假设两个猜想后证明了该构造在每种情况下都给出有效的SIC：即对于实二次域的阶1 Abel Stark猜想，以及Shintani-Faddeev模 cocycle的特殊值恒等式。前者允许我们证明幽灵SIC与SIC在 $\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$ 其中 $\Delta = (d+1)(d-3)$ 的扩张上是Galois共轭的，而后者允许我们证明所谓的fiducial投影器的幂等性。我们通过与已知解的交叉验证（特别是Scott和Grassl的大量工作），以及构造d=100中四个非等价SIC的三个新的数值实例来对SIC构造进行计算测试。我们进一步考虑称为r-SIC的秩r推广，这些是由r维复子空间的最大等径配置给出。我们给出所有满足 r(d-r) 整除 (d^2-1) 的 r, d 条件下r-SIC的类似条件性构造。最后，我们研究由r-SIC生成的域扩张的结构。如果 K 是任何实二次域，那么要么是由我们的构造生成的所有Abel域扩张，要么是2在扩张中未退化的所有Abel扩张；前者在正密度的域判别数上成立。