由 Stark 单位构造 SIC-POVM：素数维 n^2+3

我们提出一种在维数为 $d=n^2+3$ 形式的复 Hilbert 空间中构造 SIC 基准向量的方案，聚焦于素数维 $d=p$。已证明此类结构存在于十三个该型素数维中，最大者为 $p=19603$。附着于此类维数的实二次基域 $K$（标准 SIC 术语中）具有范数为 $-1$ 的基本单位 $u_K$。令 $\mathbb{Z}_K$ 为 $K$ 的整数环，则 $p\mathbb{Z}_K$ 分裂为两个理想 $\mathfrak{p}$ 与 $\mathfrak{p}'$。基准向量的首项为几何缩放因子 $\xi$ 的平方 $\xi^2$，该因子位于域 $K(\sqrt{u_K})$ 之一中。引人注目的是，基准向量的其余 $p-1$ 个分量各为 $\xi$ 与一个 Stark 单位平方根之积。这些 Stark 单位经由 Stark 猜想，由 $\mathbb{Z}_K$ 对模 $\mathfrak{p}\infty_1$ 的射线类群特征所附偏 $L$ 函数一阶导数在 $s=0$ 处的值获得，其中 $\infty_1$ 为 $K$ 的实位之一。