Sárközy关于二次剩余的猜想, II

对每个素数$p$，记$\mathcal{R}_p$为$\mathbf{F}_p$中所有二次剩余组成的集合。A. Sárközy的一个猜想断言，对所有充分大的$p$，不存在满足$|\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|\geqslant2$且$\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathcal{R}_p$的子集$\mathcal{A},\mathcal{B}\subseteq\mathbf{F}_p$。在本文中，我们证明若这样的子集$\mathcal{A},\mathcal{B}$确实存在，则$\mathcal{A}+\mathcal{B}$中至少有$(\log 2)^{-1}\sqrt p-1.6$个元素具有唯一表示，且应有\begin{align*} \frac{1}{4}\sqrt{p}< |\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|< 2\sqrt{p}-1. \end{align*} 这改进了I.E. Shparlinski、I.D. Shkredov以及Y.-G. Chen和X.-H. Yan先前得到的界。此外，若$\mathcal{A}+\mathcal{B}$中只有少数元素具有唯一表示，我们还建立了$|\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|$以及加性能量$E(\mathcal{A},\mathcal{B})$的界。