组合丰富集的大性概念

在 \cite[Proposition 8.21 Page-169]{F} 中，H. Furstenberg 利用拓扑动力学方法引入了中心集的概念并证明了著名的中心集定理。随后，在 \cite{DHS} 中，D. De、H. Hindman 和 D. Struss 建立了一个强中心集定理，其中他们引入了 $J$-集的概念。类似于 $J$-集，V. Bergelson 和 D. Glasscock 在 \cite{BG} 中引入了组合丰富集（$CR$-集）的概念。设 $u,v\in\mathbb{N}$ 且 $A$ 为一个 $u\times v$ 的有理数矩阵。在 \cite{HS23} 中，N. Hindman 和 D. Strauss 确立了：只要 $B$ 是 $\mathbb{Z}$ 中的分段 syndetic 集（或 $J$-集），则 $\left\{ \vec{x}\in\mathbb{Z}^{v}:A\vec{x}\in B^{u}\right\}$ 是 $\mathbb{Z}^{v}$ 中的分段 syndetic 集（或 $J$-集）。在本文中，我们利用 N. Hindman、H. Hosseini、D. Strauss 和 M. Tootkaboni 在 \cite{HHST} 中给出的 $CR$-集的等价定义，证明了关于 $CR$-集的相同结果。