拟蒙特卡洛点集的可计算优劣度

设 $\mathcal{P} \subset [0,1)^S$ 为 $S$ 维立方体中基数为 $N$ 的有限点集，且 $f:[0,1)^S \to \mathbb{R}$ 为可积函数。通过 $\mathcal{P}$ 对 $f$ 进行的拟蒙特卡洛（QMC）积分是 $f$ 在 $\mathcal{P}$ 中各点处取值的平均值，该值近似于 $f$ 在立方体上的积分。假设 $\mathcal{P}$ 是通过具有 $n$ 位精度的数字网由 $\mathbb{F}2$-向量空间 $P\subset (\F2^n)^S$ 构造而成。作为 Josef Dick 方法的 $n$ 位离散化版本，我们引入了 $P$ 的 Walsh 优劣度（WAFOM）$\textnormal{WF}(P)$，该指标满足 Koksma-Hlawka 型不等式，即在 $f$ 具有 $n$-光滑性的条件下，QMC 积分误差被 $C_{S,n}||f||_n \textnormal{WF}(P)$ 界定，其中 $C_{S,n}$ 是仅依赖于 $S,n$ 的常数。我们给出了 $\textnormal{WF}(P)$ 的傅里叶逆变换公式，该公式可在 $O(n SN)$ 步内计算。这种有效性使我们能够针对具有较小 $\textnormal{WF}(P)$ 值的 $P$ 进行随机搜索，而对于其他优劣度（如偏差）而言，这种搜索是困难的。类比于编码理论，我们预期随机搜索可能找到优于数学构造的点集。事实上，一种朴素搜索找到了具有较小 $\textnormal{WF}(P)$ 的点集 $P$。在实验中，我们展示了这些点集在 QMC 积分中优于广泛使用的 QMC 规则的性能。我们还提供了一些实验证据，证明我们的点集对金融领域中出现的非光滑被积函数也是有效的。