具有有向余极限的可达范畴的可范畴性谱的完整分类

我们给出了在假设奇异基数假设（$SCH$）下，具有有向余极限的大可达范畴中可能出现的、就内部大小而言的所有可能的可范畴性谱的完整分类，并提供了最终可范畴性的显式阈值基数。这包括作为特例的、完全在 $ZFC$ 中对抽象初等类（AEC's）的可范畴性谱的首次完整分类。更具体地说，我们有如下定理：设 $\mathcal{K}$ 是一个具有有向余极限的大 $\kappa$-可达范畴。假设奇异基数假设 $SCH$（仅当对单态射的限制不是 AEC 时才需要）。则可范畴性谱 \mathcal{C}at(\mathcal{K})=\{\lambda\geq \kappa: \mathcal{K} \text{ 是 \lambda-范畴的}\} 是以下之一：1) $\mathcal{C}at(\mathcal{K})=\emptyset$。2) $\mathcal{C}at(\mathcal{K})=[\alpha, \beta]$，对某些 $\alpha, \beta \in [\kappa, \beth_{\omega}(\kappa))$。3) $\mathcal{C}at(\mathcal{K})=[\chi, \infty)$，对某些 $\chi \in [\kappa, \beth_{(2^{\kappa})^+})$。这特别地解决了 Shelah 关于 AEC 的可范畴性猜想。该分类的三种情况均有实例，表明它们确实会出现。