通用类中的Shelah最终范畴性猜想。第二部分

我们证明，一个在足够高的基数上范畴的通用类在一尾基数上也是范畴的。与文献中的其他结果相反，我们在ZFC中工作，不要求范畴性基数为后继基数，不假设合并性质，也不使用大基数。此外，我们给出了“足够高”阈值的显式界：$\mathbf{Theorem}$ 令 $\psi$ 为一个通用 $\mathbb{L}_{\omega_1, \omega}$ 语句。如果 $\psi$ 在某个 $\lambda \ge \beth_{\beth_{\omega_1}}$ 上是范畴的，那么 $\psi$ 在所有 $\lambda' \ge \beth_{\beth_{\omega_1}}$ 上都是范畴的。作为证明的副产品，我们展示了Grossberg的一个猜想在通用类中成立：$\mathbf{Corollary}$ 令 $\psi$ 为一个在某个 $\lambda \ge \beth_{\beth_{\omega_1}}$ 上范畴的通用 $\mathbb{L}_{\omega_1, \omega}$ 语句，则 $\psi$ 的模型类对大小至少为 $\beth_{\beth_{\omega_1}}$ 的模型具有合并性质。我们还建立了将这两个结果推广到不可数语言的形式。作为论证的一部分，我们发展了在满足相容性条件的两个不同类之间转移模型论性质的机制。这被用作Shelah对通用类的里程碑式研究（我们广泛使用）与作者关于抽象初等类的范畴性转移定理之间的桥梁，该抽象初等类具有合并性质、是驯顺的，并且在形如 $M \cup \{a\}$ 的集合上有素模型。