Shelah 关于泛类的最终范畴性猜想：第一部分

我们证明：$\mathbf{Theorem}$ 设 $K$ 为一个泛类。如果 $K$ 在任意高共尾性的基数上是范畴的，则 $K$ 在一个基数的尾部上是范畴的。证明源于 Adi Jarden 和 Will Boney 的思想，并且也依赖于 Shelah 的一个深刻结果。与先前工作相反，该论证在 ZFC 内，并且不使用在后继基数上范畴性的假设。该论证推广到满足局部性性质且存在某些素模型的抽象初等类(AECs)。此外，假设合并(amalgamation)，我们可以给出 Hanf 数的显式界并摆脱共尾性限制：$\mathbf{Theorem}$ 设 $K$ 为一个具有合并的 AEC。假设 $K$ 是完全 $\operatorname{LS} (K)$-tame and short 的，并且具有形如 $M \cup \{a\}$ 的集合上的素模型。记 $H_2 := \beth_{\left(2^{\beth_{\left(2^{\operatorname{LS} (K)}\right)^+}}\right)^+}$。如果 $K$ 在一个 $\lambda > H_2$ 上是范畴的，则 $K$ 在所有 $\lambda' \ge H_2$ 上是范畴的。