Ashtekar 与 Friedrich 空间无穷远形式体系的比较

彭罗斯的渐近平直性思想为理解零无穷远处孤立系统引力场的渐近结构提供了框架。然而，由于对于具有非零 ADM 质量时空在正则点紧化中空间无穷远的奇异性，对空间无穷远附近场渐近行为的研究更具挑战性。解决这一挑战的两种不同框架是 Friedrich 的空间无穷远圆柱和 Ashtekar 的空间无穷远处渐近闵可夫斯基时空定义，它们产生了空间无穷远处的三维渐近流形 $\mathcal{H}$。两种框架都处理了空间无穷远处的奇异性，尽管文献中尚未研究这两种方法之间的联系。本文旨在展示 Friedrich 圆柱与空间无穷远渐近流形之间的关系。为此，我们首先考虑闵可夫斯基时空中的这一关系。可以证明，共形测地线方程的解提供了一个联系圆柱与渐近流形的共形因子。对于满足 Ashtekar 定义的一般时空，该共形因子无法显式确定。然而，本文给出了该共形因子存在的证明。此外，利用共形约束方程系统地推导了物理场在渐近流形 $\mathcal{H}$ 上满足的条件。最后，通过利用常微分方程稳定性定理，证明了渐近流形上的共形测地线方程的解可扩展到空间无穷远的小邻域。该解可用于在 $\mathcal{H}$ 邻域中构造共形高斯系。