两个散射振幅的组合学故事：见两种双射

在本论文中，我们穿越两个不同但并不相异的故事，其潜在主题是量子场论中散射振幅所涌现的组合学。第一部分讲述了 $c_2$-不变量的故事，这是一个与 $\phi^4$-理论中的费曼积分相关的算术不变量，研究基尔霍夫多项式及相关图多项式的零点。通过将 $c_2$-不变量重新表述为一个纯组合学问题，我们展示了如何通过无不动点对合枚举特定边二划分，从而完成长期寻求的 $c_2$ 补全猜想的一个特例。第二部分讲述了正格拉斯曼流形及其胞腔上的组合学 T-对偶映射的故事，这与平面 $\mathcal{N} = 4$ SYM 理论中的散射振幅相关。特别地，T-对偶是正单纯形与振幅多面体三角剖分之间的一座桥，这两个对象作为正格拉斯曼流形的像而出现。我们给出了一种将 T-对偶视为 Le 图上的映射的算法，并刻画了 Le 图的一个良好结构（随后可替代该算法使用）。通过这一 T-对偶的 Le 图视角，我们展示了映射两侧正拟阵胞腔之间的维数关系如何被直接解释。