车道合并的组合模型

一条双车道道路驶向停车灯。左车道在刚过交叉口处并入右车道。车辆一次一辆接近交叉口，一些驾驶员总是选择右车道，而另一些总是选择较短车道，并在平局时优先选择右车道。车辆的到达序列可表示为二进制字符串，其中0表示总是选择右车道的驾驶员，1表示选择较短车道的驾驶员。从每个到达序列我们构造一条合并路径，即由每辆车所选车道决定的格点路径。我们给出了到达序列中恰有$k$个0并到达点$(n,m)$的合并路径数量的闭公式，以及所有恰有$k$个0的到达序列中右车道期望长度的闭公式。证明涉及对Andre反射原理的改编。其他有趣的联系也随之出现，包括：投票数、在$n$次硬币抛掷序列中出现的正面或反面最大期望数、使用至多$[n:n]$的牌所能制成的最大多米诺蛇，以及带环的完全图$K_n$上的最长迹。