弱单位dg范畴上的闭模型结构，II

本文是继我们先前论文 [PS] 之后的工作（但可独立阅读），我们继续研究域 $\Bbbk$ 上小弱单位 dg 范畴（在 Kontsevich-Soibelman [KS] 的意义下）的范畴 $\mathrm{Cat}_{\mathrm{dgwu}}(\Bbbk)$ 上的闭模型结构。在 [PS] 中，我们在弱单位 dg 范畴上构造了一个闭模型结构，并施加了一个技术性条件，即对任意对象 $x$ 有 $\mathrm{id}_x\cdot \mathrm{id}_x=\mathrm{id}_x$。尽管该条件带来了极大的简化，但它是多余的，必须被去除。本文中我们去掉了这一条件，并提供了完全一般性的闭模型结构。这个新的闭模型范畴同样是共纤维生成地，并被证明与 Tabuada [Tab1] 给出的 $\Bbbk$ 上（严格单位）dg 范畴的闭模型范畴 $\mathrm{Cat}_\mathrm{dg}(\Bbbk)$ 是 Quillen 等价的。去掉条件 $\mathrm{id}_x^2=\mathrm{id}_x$ 使得闭模型结构的构造与前述文献中的方法相距更远，并需要新的构造。其中之一是 wu dg 范畴的预三角化包，它本身也被证明是一个 wu dg 范畴。一个自然出现的弱单位 dg 范畴的例子是 dg 范畴的 bar-cobar 分解。我们在本文中提供了对严格单位的单位 dg 范畴的经典 bar-cobar 分解的一个改进（附录 B）。类似的构造可应用于在 $\mathrm{Cat}_\mathrm{dgwu}(\Bbbk)$ 中构造共纤维分解。