一种用于求解薛定谔方程反问题的巧妙神经网络

在本工作中，我们求解非线性薛定谔方程的反问题，该问题可表述为一种特殊卷积神经网络的学习过程。我们并非试图逼近反问题中的函数，而是将一个库作为低维流形嵌入网络中，从而将未知量化简为若干标量。非线性薛定谔方程（NLSE）为 $i\frac{\partial \psi}{\partial t}-\beta\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\gamma|\psi|^2\psi+V(x)\psi=0,$ 其中波函数 $\psi(x,t)$ 是正问题的解，势 $V(x)$ 是反问题的目标量。本工作的主要贡献来自两方面。首先，我们受分裂法启发，直接从薛定谔方程构造了一种特殊的神经网络。该构造背后的物理机制增强了神经网络的可解释性。另一部分是使用库搜索算法将反问题的解空间投影到更低维的空间。这种在降维逼近空间中求解的方式可追溯到压缩感知理论。此部分的动机是减轻函数估计中的训练负担。相反，借助精心选择的库，可以极大简化训练过程。我们给出了简要分析，重点讨论了所述某些反问题的适定性以及神经网络逼近的收敛性。为展示所提方法的有效性，我们在若干代表性问题上进行了探索，包括简单方程和耦合方程。结果能很好地验证理论部分。未来，我们可进一步探索流形学习以增强库搜索算法的逼近效果。